TEORIA DE CONJUNTOS

Todos tenemos una idea de conjunto, pues es un concepto muy primitivo, y por tanto su definición puede hacerse muy elaborada. Una de las definiciones más comunes es una colección de objetos; Sin embargo, habrá que definir el término de “colección”, y si lo asociamos con grupo, tendremos que aclarar lo que es un “grupo” o una “agrupación”. Digamos entonces, que un conjunto es algo que tiene elementos característicos que tienen una relación bien definida, dicho de otro modo, que tienen una propiedad común que los define.

Cuando legas al colegio, aunque hay un número determinado de aulas, tomas clase en aquella que te corresponde, dicho de otro modo, tomas clases con compañeros que al igual que tu comparten la “propiedad” o “característica” de estar inscritos en un mismo grupo escolar; al entrar en el aula, podrás observar de que todas las butacas o asientos, hay una fila en la que tú, de la misma forma que algunos de tus compañeros, tienes la “propiedad” de sentarte en una misma fila.

Eres un estudiante ordenado en tus labores escolares y con mucha más razón en tu habitación, y tus artículos personales están seguramente clasificados de acuerdo al uso, color, forma, tipo de artículo, frecuencia en uso, en fin. Sin embargo, se podría dar el caso en que tienes preparada una caja vacía, donde colocarás una colección de libros que te apoyarán en tu vida universitaria, por obvias razones, al momento está sin objetos, pero los futuros libros que coloques en ésta ya tienen definida una propiedad en común. Con esta última situación, debes formarte la idea de que existen colecciones o agrupamientos que no necesariamente tienen elementos.

Lucy, una alumna inquieta, tiene una colección de actores y cantantes “guapos” organizada en un álbum fotográfico, un día la visita Miriam, una chica más centrada, después de hojear el álbum sin permiso, no está de acuerdo con la propiedad de agrupación, pues a su parecer no todos los actores y cantantes que están en el álbum  de “guapos” lo son. Con ésta situación, se pretende ilustrar la idea de que no todos los criterios de clasificación aplicados para formar conjuntos son interpretados de la misma forma. Es por esto que se debe unificar un criterio de decisión para emitir el juicio de pertenencia o no a un conjunto. Una situación similar ocurrió cuando en una escuela seleccionaron alumnos “altos” para integrar la escolta, pues en primer lugar debieron definir a partir de qué estatura se considera que lo son.

Con base en todas éstas situaciones, es necesario precisar sin lugar a ambigüedades cuáles son los elementos que pueden o no pertenecer a cierta colección, o conjunto. Es decir, determinar claramente la relación de pertenencia.

Se ha empleado la definición de “elementos” para definir los objetos, en caso de que existan, que forman un conjunto.

NOTACIÓN DE CONJUNTOS

Para definir a los conjuntos, es válido determinar una propiedad que cumplan los elementos, pero que sólo ellos la cumplan para no caer en la ambigüedad de la inclusión o no del elemento, o en el peor de los casos, en una paradoja.

Las formas de representación de un conjunto son por comprensión y por extensión:

·         Notación por comprensión, consiste en enunciar una propiedad definitoria de los elementos del conjunto.

·         Notación por extensión, la cual consiste en enumerar cada uno de los elementos que cumplen con la propiedad definitoria.

Para analizar las formas de presentación, presentamos la siguiente tabla comparativa:

Respecto de la tabla anterior, es de suma importancia hacer algunos comentarios:

·         La notación por extensión, nos da una idea clara de cuáles son los elementos que conforman un conjunto.

·         La notación por extensión, aunque es más precisa, no siempre es útil, ya que, en algunos casos, resulta muy difícil poder numerar todos los elementos de un conjunto.

·         Para fines prácticos, no siempre resulta útil todos los elementos de los conjuntos.

·         En la notación por comprensión, se necesita tener claros algunos conceptos para poder determinar los elementos que forman los conjuntos.

De acuerdo a los puntos listados, la notación por comprensión resulta tener mayores ventajas que la notación por extensión, pues la primera proporciona información para determinar los objetos que cumplen con cierta propiedad y de la certeza de que solamente éstos pertenecen al conjunto. Por este motivo, es necesario establecer un formato para la propiedad definitoria.

Si A es un conjunto de y P es una propiedad que define a los elementos De A, se escribe:

y se lee “A es un conjunto de todos los objetos x tales que x tiene la propiedad de P”.

Con este formato, el conjunto “V es el conjunto de todas las vocales del abecedario español”, se escribiría de la forma:

Del mismo modo, el conjunto “C es el conjunto de las capitales del estado de Coahuila”.

Cuando se incluye una relación de igualdad, se utilizan los símbolos 

 con los cuales ya debes estar familiarizados por tus cursos previos de álgebra.

También se incluye el símbolo 

 que se lee “pertenece a” o bien el símbolo 

 que se lee “no pertenece a”.

Utilizando lo anterior, el conjunto “P es el conjunto de todos los números primos mayores que 10 y menores que 50” se escribe de la forma:

Por otro lado, el conjunto “R es el conjunto de los números reales entre 0 y 1”.

EL CONJUNTO UNIVERSAL Y EL CONJUNTO VACÍO

Se definió el conjunto de las vocales, este conjunto se tomó de un conjunto más grande que es el de las letras del abecedario español; también, se definió el conjunto de los números reales que se encuentran entre 0 y 1; de igual forma, se definió el conjunto de números primos mayores que 10 y menores que 50. En este caso, se “extrajo” de un conjunto más grande, un conjunto particular. Esta es la idea de que existe un conjunto que contiene o conglomera a muchos otros conjuntos, este conjunto se le conoce como conjunto 

universal.

El conjunto universal es el conjunto “U” que contiene a todos los elementos del mismo tipo.

Es claro que el conjunto universal del conjunto A={1} y del conjunto 

, es el conjunto de todos los números, dígase naturales, enteros, fraccionarios, reales.

También se ha mencionado la existencia de un conjunto que no contiene elementos, por ejemplo:

Los conjuntos anteriores, no contienen elementos, es decir que permanecen vacíos.

El conjunto vacío es el conjunto 

 que no contiene elementos.

CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS

El conjunto de las vocales, dado que es un conjunto pequeño, fue muy sencillo de numerar sus 5 elementos; Sin embargo, el hecho de numerar todos los elementos de un conjunto no es una tarea sencilla cuando se trata de conjuntos por su naturaleza incluyen a una gran cantidad de elementos.

Los conjuntos finitos son aquellos cuyos elementos se pueden “contar”, es decir que se pueden poner en correspondencia uno a uno con los números naturales.

Los siguientes son ejemplos de conjuntos finitos:

Los conjuntos infinitos son aquellos en los que el proceso de conteo de sus elementos, no termina.

En este caso, los elementos del conjunto no se pueden contar, pues “entre dos números reales, siempre existe otro número real”.

El concepto de un conjunto finito e infinito incluye la idea de “contar”, o de encontrar la cardinalidad de un conjunto.

La cardinalidad de un conjunto (#) se define como el número de elementos de un conjunto.

De esta forma:

# (C) =1 debido a que solamente existe un elemento.

# (P) =11

De esta operación se desprende la siguiente definición:

Un conjunto se llama contable si entre éste y el conjunto de los números naturales o el conjunto con algunos elementos del conjunto de los números naturales, existe una correspondencia biunívoca.

Cabe mencionar que aun cuando un conjunto sea infinito, se puede contar, pues el conjunto de los números naturales también es infinito.

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

SUBCONJUNTOS

Parafraseando la definición “… el conjunto de los números naturales o el conjunto con algunos elementos del conjunto de los números naturales…” esto quiere decir:

El conjunto de los números naturales.

(los puntos suspensivos indican que el conjunto continua indefinidamente).

O conjuntos con algunos elementos del conjunto de los naturales:

Lo cual quiere decir que del conjunto infinito de los números naturales, es posible extraer otros conjuntos que contienen menos elementos que el primero. A estos conjuntos más pequeños se les conoce como “subconjuntos”.

Un conjunto A se dice que es subconjunto de 

, si cualquier elemento de A está contenido en B.

Para este caso, 

Un ejemplo más es:

Es claro que 

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Existe otra relación importante entre conjuntos y es precisamente la definición de cuándo dos conjuntos son iguales entre sí, con base en el concepto de subconjunto, se define la igualdad de la siguiente manera:

Un conjunto A se dice que es igual a un conjunto B si B es subconjunto de 

y también B es subconjunto de A 

Para verificar la igualdad, se representan los conjuntos por extensión, aunque no siempre es necesario ni posible.

En este caso:

Es notorio que se cumple que todos los elementos de A están en R, y que todos los elementos de R están en A.

Por tanto:

CONJUNTOS AJENOS

Estos conjuntos se conocen en la literatura con varios nombres, ajenos, disjuntos o mutuamente excluyentes, la definición de este tipo de conjunto es simple:

A y B son conjuntos ajenos, disjuntos o mutuamente excluyentes, si no tienen elementos en común.

La definición anterior aplica para todos los elementos, de esta forma se puede decir que si un conjunto contiene a un elemento, necesariamente el otro conjunto no lo contiene.

Para ejemplificar el concepto, se tiene:

Es fácil de observar que ningún elemento del conjunto A está contenido en el conjunto B y que de igual manera se cumple que ningún elemento del conjunto B está contenido en el conjunto A. Por tanto A y B son ajenos entre sí.

Los conjuntos:

Al observar los conjuntos M y D, tienen un elemento en común que es el elemento “r”, por tanto M y D no son conjuntos ajenos.

Observa que el conjunto D se define como por comprensión como 

pero en su representación por extensión solamente se coloca un elemento “e”. Esto es importante de resaltar, ya que no tiene sentido que en un conjunto se numeren dos veces el mismo elemento, es más, no es correcto hacerlo.

SUBCONJUNTO PROPIO

Se ha definido que dos conjuntos son iguales si se cumple 

, sin embargo, es muy común de que se de el caso de que 

 pero que 

, de aquí viene una definición:

El conjunto A es un subconjunto propio de conjunto B, si A es subconjunto de B y B es diferente de B.

En este sentido, las vocales es un subconjunto propio del conjunto de las letras del abecedario.

El conjunto de los números pares positivos es un subconjunto propio de los números naturales.

OPERACIONES FUNDAMENTALES ENTRE CONJUNTOS (CREACIÓN DE NUEVOS CONJUNTOS)

UNIÓN DE CONJUNTOS

La palabra unión denota agregación o incorporación, a partir de esta idea, la unión de los conjuntos A y B se define de la siguiente manera:

La unión del conjunto 

con el 

 es otro conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o bien, que pertenecen al conjunto B.

Para ilustrar la definición anterior, sea:

Esto significa que la unión de los números mayores que cero, unidos con los números impares mayores que cero, conforman un conjunto que se conoce como el conjunto de los números naturales.

Se presenta un ejemplo de conjuntos por extensión:

Ejemplo:

Sea:

Observa que aún cuando los elementos “a” y “b” se encuentran en ambos conjuntos, el conjunto Z los contiene solamente una vez.

Utilizamos nuevamente como ejemplo, el conjunto de las letras del abecedario.

Sea:

Pero se da el caso de que en el conjunto G contiene los mismos elementos que el conjunto T, por tanto G=T. Esta es una propiedad que bien vale la pena analizar más adelante.

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

De acuerdo a la RAE, a la intersección se le define como “conjunto de los elementos que son comunes a dos conjuntos”, de ahí que se desprenda la siguiente definición:

La intersección de dos conjuntos A y B 

, es un nuevo conjunto que contiene a los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B.

Ejemplo:

Sea:

Esto se debe a que Paco pertenece tanto al conjunto A como al conjunto B, dicho en otras palabras, es un elemento común en ambos conjuntos.

Sea:

Es claro que los conjuntos no tiene elementos en común, por tanto su intersección es el conjunto vacío.

Es importante que observes que el conjunto vacío, ser representa sin “{  }”; y que 

 es diferente de 

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

En el caso de los conjuntos, la idea de diferencia se describe como los elementos distintos de cada conjunto, la definición es la siguiente:

La diferencia de dos conjuntos A y B 

, es un nuevo conjunto formado por los elementos del conjunto A que no están contenidos en el conjunto B.

Ejemplo:

Sea:

Para reafirmar el concepto:

Es importante que tomes en cuenta que la diferencia de conjuntos no es conmutativa; esto significa que 

Una equivalencia importante de la diferencia de conjuntos está dada por: 

. A continuación se define el significado de