IGUALDAD DE CONJUNTOS

Existe otra relación importante entre conjuntos y es precisamente la definición de cuándo dos conjuntos son iguales entre sí, con base en el concepto de subconjunto, se define la igualdad de la siguiente manera:

Un conjunto A se dice que es igual a un conjunto B si B es subconjunto de 

y también B es subconjunto de A 

Para verificar la igualdad, se representan los conjuntos por extensión, aunque no siempre es necesario ni posible.

En este caso:

Es notorio que se cumple que todos los elementos de A están en R, y que todos los elementos de R están en A.

Por tanto:

CONJUNTOS AJENOS

Estos conjuntos se conocen en la literatura con varios nombres, ajenos, disjuntos o mutuamente excluyentes, la definición de este tipo de conjunto es simple:

A y B son conjuntos ajenos, disjuntos o mutuamente excluyentes, si no tienen elementos en común.

La definición anterior aplica para todos los elementos, de esta forma se puede decir que si un conjunto contiene a un elemento, necesariamente el otro conjunto no lo contiene.

Para ejemplificar el concepto, se tiene:

Es fácil de observar que ningún elemento del conjunto A está contenido en el conjunto B y que de igual manera se cumple que ningún elemento del conjunto B está contenido en el conjunto A. Por tanto A y B son ajenos entre sí.

Los conjuntos:

Al observar los conjuntos M y D, tienen un elemento en común que es el elemento “r”, por tanto M y D no son conjuntos ajenos.

Observa que el conjunto D se define como por comprensión como 

pero en su representación por extensión solamente se coloca un elemento “e”. Esto es importante de resaltar, ya que no tiene sentido que en un conjunto se numeren dos veces el mismo elemento, es más, no es correcto hacerlo.

SUBCONJUNTO PROPIO

Se ha definido que dos conjuntos son iguales si se cumple 

, sin embargo, es muy común de que se de el caso de que 

 pero que 

, de aquí viene una definición:

El conjunto A es un subconjunto propio de conjunto B, si A es subconjunto de B y B es diferente de B.

En este sentido, las vocales es un subconjunto propio del conjunto de las letras del abecedario.

El conjunto de los números pares positivos es un subconjunto propio de los números naturales.

OPERACIONES FUNDAMENTALES ENTRE CONJUNTOS (CREACIÓN DE NUEVOS CONJUNTOS)

UNIÓN DE CONJUNTOS

La palabra unión denota agregación o incorporación, a partir de esta idea, la unión de los conjuntos A y B se define de la siguiente manera:

La unión del conjunto 

con el 

 es otro conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o bien, que pertenecen al conjunto B.

Para ilustrar la definición anterior, sea:

Esto significa que la unión de los números mayores que cero, unidos con los números impares mayores que cero, conforman un conjunto que se conoce como el conjunto de los números naturales.

Se presenta un ejemplo de conjuntos por extensión:

Ejemplo:

Sea:

Observa que aún cuando los elementos “a” y “b” se encuentran en ambos conjuntos, el conjunto Z los contiene solamente una vez.

Utilizamos nuevamente como ejemplo, el conjunto de las letras del abecedario.

Sea:

Pero se da el caso de que en el conjunto G contiene los mismos elementos que el conjunto T, por tanto G=T. Esta es una propiedad que bien vale la pena analizar más adelante.

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

De acuerdo a la RAE, a la intersección se le define como “conjunto de los elementos que son comunes a dos conjuntos”, de ahí que se desprenda la siguiente definición:

La intersección de dos conjuntos A y B 

, es un nuevo conjunto que contiene a los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B.

Ejemplo:

Sea:

Esto se debe a que Paco pertenece tanto al conjunto A como al conjunto B, dicho en otras palabras, es un elemento común en ambos conjuntos.

Sea:

Es claro que los conjuntos no tiene elementos en común, por tanto su intersección es el conjunto vacío.

Es importante que observes que el conjunto vacío, ser representa sin “{  }”; y que 

 es diferente de 

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

En el caso de los conjuntos, la idea de diferencia se describe como los elementos distintos de cada conjunto, la definición es la siguiente:

La diferencia de dos conjuntos A y B 

, es un nuevo conjunto formado por los elementos del conjunto A que no están contenidos en el conjunto B.

Ejemplo:

Sea:

Para reafirmar el concepto:

Es importante que tomes en cuenta que la diferencia de conjuntos no es conmutativa; esto significa que 

Una equivalencia importante de la diferencia de conjuntos está dada por: 

. A continuación se define el significado de