COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

De acuerdo a la RAE, complemento denota una “cosa, cualidad o circunstancia que se añade a otra para hacerla integra o perfecta”, en este sentido, se define al complemento de un conjunto de la siguiente manera:

De esta forma:

CONJUNTO POTENCIA

de realizar un ejemplo, es importante resaltar la siguiente propiedad:
El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto.
Sea

Y la cardinalidad del conjunto B es #B=8.

Observa que en el conjunto potencia se incluye al conjunto en sí, esto quiere decir que “todo conjunto es subconjunto de sí mismo”.Para verificar que el conjunto potencia contiene a todos sus elementos, la cardinalidad de dicho conjunto debe ser igual a la expresión.

donde n es la cardinalidad del conjunto original.
Para el ejemplo #A=3, por tanto, el conjunto potencia de A, tendrá

elementos, que corresponde con el ejemplo mostrado.
Un caso curioso ocurre con el conjunto vacío.

ya que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. Y también

EQUIVALENTES IMPORTANTES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

Dos operaciones básicas en conjuntos son la unión e intersección, para estas operaciones existen unas propiedades interesantes.
Sean A, B y C conjuntos, entonces se cumple que:

DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de Venn, llamados así a partir del matemático británico John Venn, 1834-1923, se utilizan para representar gráficamente los elementos que se enumeran en un conjunto y sus operaciones.
En este tipo de diagramas se utilizan generalmente círculos u otras figuras para delimitar a los elementos de los conjuntos y en caso de que existan dos o más conjuntos representados, los elementos en común se colocarán en las regiones en que los círculos o figuras se interceptan.
El símbolo U, que representa al Universo, se coloca en l aparte superior izquierda o en la parte inferior derecha, en este caso se adoptará la segunda forma.
Sea
A={1,2,3,4,5}
B={3,4,6,7,8}
La representación de los conjuntos A y B en un diagrama de Venn se representa en la siguiente figura.

Una de las grandes utilidades del diagrama de Venn es que por medio de çeste, se pueden obtener visualmente las operaciones básicas sobre conjuntos.

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

Los elementos que se encuentran en el área en que los conjuntos se cruzan o los elementos en común, corresponden a la operación de la intersección de los conjuntos.
Así, si se resalta dicha sección, la representación de los conjuntos A y B toma la forma siguiente:

Así para el ejemplo que se planteó, los elementos que se encuentran en ésta área en común son el 3 y 4, por tanto:

UNIÓN DE CONJUNTOS

De igual manera que se encontraron los elementos de la intersección de conjuntos, es posible hallar la unión de los conjuntos A y B, por definición, son los elementos que se encuentran contenidos en el conjunto A o en el conjunto B, esto significa que en el diagrama, se encuentran encerrados por las regiones delimitadas ya sea por un conjunto o bien por el otro.Según el diagrama, los elementos que resultan de la unión de los conjuntos A y B son los que se encuentran resaltados.

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

La diferencia de conjuntos en un diagrama de Venn, de acuerdo a la definición son los elementos que se encuentran en el conjunto A pero que no se encuentran en el conjunto B, lo cual se visualiza de la siguiente forma:

Es fácil observar que la región resaltada, es aquella en que están los elementos que pertenecen al conjunto A, pero no así en el conjunto B.Así el conjunto
Para el ejemplo que se está mostrando, si se señalan los elementos que pertenecen al conjunto B, pero que no pertenecen al conjunto A, se visualiza a continuación:


A través de los diagramas de Venn, de una forma muy empírica. Es posible demostrar algunas de las propiedades de conjuntos, en este caso se demuestra que .
Hasta ahora las operaciones realizado a través del diagrama de Venn operan solamente sobre los elementos de los conjuntos,; sin embargo, es posible agregar elementos en el espacio reservado para el conjunto universo.

DIAGRAMA DE ARBOL

Una operación que se puede realizar entre conjuntos, es el producto cartesiano. Este producto se define de la siguiente manera:

Lo cual se lee: “ el producto A por B se define como el conjunto de pares ordenados tales que x pertenece a A y y pertenece a B”.Este producto no es conmutativo, esto se debe a que se trata de pares ordenados, entonces el orden es importante.
Para realizar el producto de los conjuntos, por pequeños que sean, nos auxiliamos de un diagrama, el cual presenta ramificaciones para cada elemento del conjunto.
Por ejemplo:
Si se lanza una moneda y se tira un dado, en este orden, se pueden formar varias parejas a partir de los lanzamientos, las cuales están determinadas por la operación AxB.

El primer paso para la construcción del árbol, es colocar los elementos del primer conjunto en forma de lista.
El segundo paso, resulta de colocar tantas ramas contenga el segundo conjunto, en este caso son 6, una para cada lado del dado.
Si existiera un conjunto más, entonces se colocan tantas ramas como elementos tengan el tercer conjunto en el extremo de cada una de las ramas finales. Para el ejemplo planteado, solamente son dos conjuntos, entonces no es necesario hacer una ramificación más.
Finalmente, se colocan las etiquetas de las ramas finales, estas etiquetas tienen como elementos cada uno de los nodos del árbol.

EVENTOS COMPLEMENTARIOS

Los eventos complementarios surgen de la idea del complemento de un conjunto, para abordar el tema, es necesario definir el concepto de evento.
Esto quiere decir que existe un conjunto universo para el espacio muestral.
El espacio muestral se define de la forma:
El espacio muestral es el conjunto integrados por todos los resultados posibles de un experimento.
Ahora la pregunta es qué es un experimento, la definición acorde al tema es el siguiente:
Un experimento se define como el proceso mediante el cual se obtiene una observación.
Entonces:
Sea el experimento el lanzar una moneda, el espacio muestral es:

Si el lanzamiento de la moneda, el resultado fue sol, entonces el evento será:

Y su complemento será:
Observa que el elemento solo puede tomar un valor, por tanto no se puede dar el caso de que tenga los valores sol o águila a la vez; esto sucede si la moneda hubiese caído de “canto”, pero en este caso el evento se anula.
Es importante hacer notar que en la elaboración de posibles resultados de un experimento, dicho de otra forma, para numerar el conjunto formado por el espacio muestral, es necesario auxiliarse del diagrama de árbol, de esta forma será sencillo identificar cuáles son los eventos complementarios parea el caso de que los experimentos sean más complejos.
Ahora podemos afirmar lo siguiente:
Dos eventos son complementarios, si su unión es equivalente al espacio muestral.

HISTORIA BREVE DE LA PROBABILIDAD

Las primeras nociones de probabilidad, según descubrimientos arqueológicos provienen de tiempos muy remotos, entre los vestigios de las culturas sumerias y asiria se han encontrado un hueso extraído del talón de animales como las ovejas, ciervos y caballos, se cree que este hueso, denominado astrágalo, al ser lanzados, podían caer en cuatro posiciones distintas, aunque no se tiene la certeza de que hayan sido utilizados con fines religiosos, de entretenimiento o ambos.
Los astrágalos fueron utilizados en otras culturas antiguas como la egipcia, según se ha encontrado en algunos códices junto con tablas en las cuales se registraban los resultados de los lanzamientos; también se han encontrado residuos de su uso en las regiones de Francia, Italia y Grecia, estilizados y manufacturados en metal. No se sabe en qué momento los astrágalos se “suavizaron”, para dar origen a los dados, pero alrededor del año 1200 a.C., éstos últimos eran utilizados en el mundo antiguo.
De entre los juegos con dados, uno denominado hazard, palabra que en Inglés y Francés significa riesgo o peligro, fue introducido a Europa con la tercera cruzada, las raíces etimológicas del término provienen de la palabra árabe al-azar que significa dado. En la literatura, de manera puntual en el purgatorio de Dante, el término se simplificó a la palabra “azar” y, posteriormente los matemáticos italiano introducen los vocablos “ludo aleae” para referirse a los juegos con dados.
Desde la antigüedad se han utilizado diversos mecanismos aleatorios en oráculos y ceremonias religiosas, o simplemente como instrumentos para develar la fortuna y destino de los individuos, como es el caso del Talmud, un libro sagrado judío, en éste se describe el uso de un buen número de procedimientos aleatorios con distintos fines.
De acuerdo a la documentación de Neil Duxbury, así como en la historia de la probabilidad y estadística, los judíos le asignaban tareas a los sacerdotes en los templos, distribuían impuestos o solucionaban discordias entre individuos o tribus con procedimientos aleatorios basados principalmente en urnas, aunque no exclusivamente. Sobresalen dos aspectos en el uso de urnas: por una parte, proporcionaban un procedimiento justo, equitativo entre los contendientes y, por otra, los resultados de tales procedimientos develaban la voluntad de Dios.
Otros eventos que contribuyeron en la conformación de una noción de azar es la proporcionada por un tratamiento de información numérica como es el caso de las observaciones astronómicas y los censos. Los astrónomos babilónicos disponían de una teoría matemática y de procedimientos aritméticos simples para el cálculo de las posiciones del sol, la Luna y los planetas en períodos regulares de tiempo; esto de acuerdo a “The principle of the arithmetic” mean de Plackett.
El problema de estimación de parámetros se ha convertido en una fuente importante de desarrollo para la Teoría de Probabilidad, además de las aportaciones de Galileo, Fermat, Pascal, Huyguens, Jean y Jacques Bernoulli,Gauss, Laplace, Kolmogorov y Wiener,; que destacan las contribuciones de Gauss, Legendre y laplace.
Entre las aportaciones más importantes a la probabilidad tenemos las siguientes:
El primer libro que se escribió sobre los juegos de azar es liber de Ludo Aleae de Girolamo Cardano (1501-1576), el cual se publicó en 1663, casi cien años después de la muerte de su autor.
Galileo (1564-1642), se ocupó de los juegos de azar en sopra le Scoperte dei dadi, obra que fue publicada hasta 1718.
En ambos trabajos aparecen de forma definitiva los elementos que constituyen el enfoque que actualmente conocemos como enfoque clásicos de la probabilidad.
Algunos autores contribuyen, errónea e injustamente, el enfoque clásico al francés Pierre Simón de Laplace (1749-1827) debido a que dio amplia divulgación de este enfoque a su obra Théorie Analitique des Probabilités, publicada en 1812.
La Théorie Analitique fue rechazada inicialmente por se poco asequible, Augusto de Morgan se refirió a ella con las siguientes palabras: “Con mucho, el trabajo matemático más difícil con el que me encontrado nunca”. Este rechazo lleva a Laplace a escribir su Essai pilosophique des probabilités con el propósito de dar una introducción no técnica de las leyes de azar. En esencia, para Laplace, la teoría de probabilidades es un cálculo útil para asignar un “grado de racional creencia” a las proposiciones sobre el azar, teniendo como herramientas básicas la teoría de permutaciones y combinaciones.
Jakob Bernoulli (1654-1705), en su obra El arte de predecir, en base a las ideas de raunt y Petty introdujo el concepto de “probabilidad frecuentista” o “estadística”.
En 1654, Pascal (1623-1662) y Fermat (1601-1665) discutieron y resolvieron el famoso problema de los puntos, también conocido como Problema de apuestas.
En 1657, Cristiaan Huygens (1629-1695) publicó el tratado llamado De Ratiociniis de Ludo Aleae intrioduciendo el primer concepto que distingue a la teoría de la probabilidad de las otras ramas de matemáticas: valor esperado o esperanza matemática.

FENÓMENO ALEATORIO

Existe una gran variedad de experimentos y fenómenos naturales, biológicos, sociales o de algún otro tipo, que tienen la característica de generar resultados u observaciones que no son susceptibles de predecirse con certeza, esto es, que aún aunque se estudien repetidamente en las mismas condiciones, no siempre se producen los mismos resultados. Tal es el caso de los fenómenos meteorológicos, de crecimientos de organismos vivos, de distribución de la población, reproducción celular, incluso en los juegos deportivos y de azar. Se realizan mediciones de este tipo de fenómenos, con cierta incertidumbre, a la imposibilidad de predecir con certeza los resultados de un fenómeno se le llama aleatoriedad y, a los fenómenos con esta característica se les conoce como fenómenos aleatorios.
Un fenómeno aleatorio o estocástico es aquel que aún cuando se desarrolle en las mismas condiciones, no siempre produce el mismo resultado.
Este tipo de fenómenos son los que se estudian en la probabilidad; sin embargo es necesario mencionar otro tipo de fenómenos, los cuales se comportan de otra manera.
Un fenómeno es determinista si cuando se repite bajo las mismas condiciones, producen siempre el mismo resultado.
Un fenómeno aleatorio debe tener las siguientes características:

• Sus resultados no son conocidos de antemano.


• Puede repetirse indefinidamente bajo condiciones idénticas o parecidas.


• Cualquier modificación en las condiciones iniciales de la repetición modifica completamente su resultado final.


• Se pueden conocer a priori el conjunto de los posibles resultados del experimento, pero no se puede predecir un resultado particular.


• Si un experimento se repite un gran número de veces, la proporción con que cada resultado aparece tiende a estabilizarse.
  
  Existe una infinidad de fenómenos aleatorios; desde que amanece, hay cierta incertidumbre en saber si será un día lluvioso o caluroso y si lo es, con qué intensidad; o en un partido de baloncesto, en que el jugador se para en la línea de tiro, no se sabe si realmente se acertará o fallará el lanzamiento. La probabilidad, entonces, se encarga de analizar este tipo de fenómenos.

ESPACIO MUESTRAL

Retomando el concepto del tema del bloque anterior:
El espacio muestral es el conjunto integrado por todo los resultados posibles de un experimento.
El espacio muestral se puede representar por “S” o por "omega" y de acuerdo a la definición, se presentan los ejemplos siguientes:

1. Se sondea a un grupo de personas acerca de su opinión sobre un programa de televisión, los resultados posibles son: excelente, bueno, regular y malo; entonces el espacio muestral está dado por: S={excelente,bueno,regular,malo}



2. Se pide tomar una ficha de Dominó y registrar en binas los números que contienen, el espacio muestral estará dado por: S={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),…,(6,6)}



3. En una urna se tienen 10 pelotas azules y 20 bolas rojas; se sacan dos pelotas de la urna, se observan y se regresan a la urna. ¿Cuál es el espacio muestral de ese experimento? S={(roja,roja),(roja,azul),(azul,rojo),(azul,azul)}



4. Se pregunta a los alumnos de cierto grupo sobre su número natural favorito. Es espacio muestral es: S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,…} El conjunto tendrá tantos elementos como números naturales existen; sin embargo sabemos que el conjunto de los números naturales es el infinito.

Con base a lo anterior, se presentan dos conceptos interesantes:

• El espacio muestral discreto está formado por un conjunto finito o infinito numerable de elementos.


• El espacio muestral continuo está formado por un conjunto infinito no numerable de elementos.

De acuerdo a las definiciones anteriores, el espacio muestral está determinado por el tipo de variables que se maneja en el experimento.

EVENTOS

Retomando nuevamente el concepto del bloque anterior:

Los eventos pueden ser de dos tipos:

• Simples: cuando constan de un solo elementos del espacio muestral.


• Compuestos: cuando se componen de dos o más elementos del espacio muestral.

Además de estas clases de eventos, existen otras que son menos usuales; sin embargo, vale la pena mencionarlos:

• Evento seguro: es aquel que siempre se verifica, ocurre o se presenta en el espacio muestral.


• Evento imposible: este tipo de evento nunca ocurre, es decir equivale al conjunto vacío.

DEFINICION DE PROBABILIDAD

En la literatura se encuentran muchas definiciones de probabilidad. De acuerdo al concepto de fenómeno aleatorio, se define de la siguiente manera:
La probabilidad es conocida como la rama de las Matemáticas que diseña y estudia los métodos para medir y analizar los fenómenos aleatorios.
La primera relación que se da entre frecuencia relativa y probabilidad fue indicada por Jakob Bernoulli, quien su obra Ars Conjectandi demuestra La Ley de los grandes números, en donde se anuncia: “la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número fijo a medida que el número de pruebas del experimento crece indefinidamente”.
Este fenómeno físico al que tiende la frecuencia relativa de un suceso se denomina “probabilidad” de dicho fenómeno.
Esta definición presenta los siguiente inconvenientes:

• Para calcular la probabilidad de un fenómeno, es necesario repetirlo un número elevado de veces.


• Aun cuando se repita el fenómeno un número elevado de veces, su resultado seguirá siendo una aproximación.

PRINCIPIO DE LA SUMA Y MULTIPLICACION (PROBABILIDAD DE UN EVENTO)

Ejemplo:
En una escuela se presenta la siguiente situación:
Josué, un alumno distraído, olvidó su cuaderno de química en casa; la profesora revisa al azar un cuaderno cada clase a partir de este día, si el grupo es de 25 alumnos, ¿Cuál será la probabilidad de que Josué sea desafortunado alumno elegido?
Para resolver este cuestionamiento se utilizará la fórmula de la probabilidad clásica:

Analizando la fórmula, necesitamos conocer el total de eventos posibles, este dato corresponde con la cardinalidad del espacio muestral. El espacio muestral en esta caso serán todos y cada uno de los alumnos del salón, incluyendo obviamente a Josué. No sabemos el nombre de cada uno y en este caso no son relevantes, basta con saber que el número de alumnos es 25.El número de casos favorables o eventos favorables, será solamente uno, pues la profesora elegirá un alumno por clase. Una vez que conocemos esta información, se realizan las sustituciones correspondientes en la fórmula:

Lo cual quiere decir que la probabilidad de que Josué sea elegido para que revisen la libreta es de 0.04.

PRINCIPIO DE LA SUMA

Una primera aplicación de este principio es la siguiente:
Ejemplo:
Brenda, muy cuidadosa de su presentación en el trabajo, tiene en su clóset 3 trajes y 2 vestidos, ¿de cuantas formas puede ir vestida al trabajo?
Para resolver este problema, utilizamos el principio de la suma:
Se puede vestir de 3 formas distintas con los 3 trajes y de 2 formas distintas con los 2 vestidos, entonces se puede vestir de 3+2=5 formas diferentes.
Analicemos ahora la situación siguiente:
Sergio, un magnate asistirá a una reunión en las lomas de Chapultepec, tiene 2 camionetas y 3 autos deportivos, ¿De cuantas maneras puede trasladarse a la fiesta?
Si utiliza la camioneta, podrá llegar a la fiesta de 2 formas distintas; pero si llega en auto, podrá llegar de 3 formas, entonces dependiendo de cómo decida llegar tiene 3+2=5 formas distintas de transporte.
Apliquemos ahora el principio a un caso de probabilidad:
En el juego de la oca, se da un gran salto si es que al tirar los dados caen en 9; hay dos formas de obtener esta suma (6,3) o (5,4).
La probabilidad de obtener un (6,3) se calcula en base al procedimiento de la probabilidad clásica que ya conoces y resulta ser:

Ahora, la probabilidad de obtener un (5,4), se calcula de manera similar:

Entonces la probabilidad de sacar un (6,3) o (5,4) es de:

Observa que el principio de la suma se aplica para la ocurrencia de un evento (A) o un evento (B) y que la ocurrencia de estos dos eventos no se relaciona uno con el otro, lo cual quiere decir que pueden suceder de manera aislada.
Ahora si halláramos la probabilidad de sacar un 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6, sumariamos todas las probabilidades y ya en este caso la probabilidad es la misma, tendríamos:
0.1666+0.1666+0.1666+0.1666+0.1666+0.1666=1

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN

Si los eventos

maneras diferentes respectivamente, entonces el evento

ocurre de

maneras diferentes.

Para abundar en este principio, se resolverá el siguiente planteamiento:

Entonces el número de resultados será:
Na = 2 X 2 X 2 = 8
Es decir, se pueden formar 8 ternas.

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN CON REEMPLAZO

Cuando se requiere saber el número de arreglos que se pueden formar a partir de un conjunto de datos, con la característica que se permite el reemplazo; es decir, que al formar cada arreglo se considera nuevamente todo el conjunto de datos, el número de arreglos diferentes estará dado en la siguiente fórmula:

Donde:

n = Cardinalidad del conjunto.

k = número de elementos con los que se formarán los subconjuntos o arreglos.

Sea el siguiente ejemplo:
Se quieren formar placas con 3 de las 27 letras del abecedario y con 3 de los diez dígitos del sistema decimal que usamos cotidianamente, es permisible que tanto las letras como los números se repitan, lo cual quiere decir, que se puede formar un arreglo del tipo (aaa111) y será válido.
Como se pueden repetir los datos, el principio de la multiplicación se aplicará como hasta ahora se ha hecho.
Sea entonces:
A = 27
B = 10
Como las primeras son letras y los tres siguientes números, se pueden formar:
Na =A X A X A X B X B X B = 27 X 27 X 27 X 10 X 10 X 10 = 19,683,000
Es decir, con estos valores se pueden formar 19,683,000 placas diferentes. Obviamente este dato no se puede representar en un diagrama de árbol.

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN SIN REEMPLAZO

Se requiere saber el número de arreglos que se pueden formar a partir de un conjunto de datos, con la característica que no se permite el reemplazo, es decir, que al formar un nuevo arreglo el número de elementos disponibles habrá disminuido en uno, respecto del anterior. El número de arreglos diferentes estará dado por la siguiente fórmula:

Donde:

n = Cardinalidad del conjunto.
k = Número de elementos con los qu8e se formarán los subconjuntos o arreglos.

Volviendo al ejemplo de las placas, digamos que ahora no se permitirán dos letras o dos números iguales en una sola placa esto indica que placas como aaa111, bbc358, abc112 no serán válidas.
Conocemos ya la cardinalidad de cada conjunto:
A = 27
B = 10
El valor de k en este caso será igual a 3, entonces calculamos el valor de:

Es decir, se multiplicará hasta (10-2).
Al tratarse de 3 letras y 3 números, el valor será el mismo:
Na = 27 X 26 X 25 X 10 X 9 X 8 = 12,636,000
Lo cual quiere decir que se pueden formar 12,636,000 placas.

PERMUTACIÓN

Como se ha observado, el principio de la multiplicación al momento de realizar los cálculos del número de arreglos posibles, es más efectivo que el diagrama de árbol, una forma más de realizar operaciones de ese tipo son las permutaciones.

Una permutación de un conjunto, es una función sobre el mismo conjunto y que tiene la finalidad de dar otro ordenamiento a los elementos de dicho conjunto.

Al permutar un conjunto A, se pueden generar un conjunto dado de subconjuntos, los cuales pueden contener desde 1 hasta x elementos, y se calculan mediante la siguiente fórmula:

Donde:

n = la cardinalidad del conjunto a ordenar.

k = número de elementos que contendrá cada subconjunto ordenado de A.
Ejemplo:
Una educadora desea enseñar las vocales a sus alumnos y para verificar que ya las aprendieron, planea mostrarles tarjetas de cada vocal en diferente orden, ¿De cuántas formas posibles se pueden formar?
Para contestar dicha interrogante, se debe emplear precisamente una permutación. En este caso particular se tiene:
A= {a, e, i, o, u}=5
Y se quieren formar conjuntos, precisamente de 5 letras, pues solamente se quiere intercambiar el orden de las mismas, entonces, los valores que se sustituirán en la fórmula son n=5 y k=5.
Una vez que conocemos los valores, se pueden aplicar la fórmula realizando las sustituciones correspondientes:

Lo cual quiere decir que las vocales se pueden ordenar de 120 formas.

COMBINACIÓN

Una combinación de un conjunto, es un subconjunto en el cual no importa el orden de sus elementos, es decir, dos combinaciones son diferentes sólo si al menos uno de sus elementos es diferente.
La fórmula para calcular las combinaciones es la siguiente:

n = 5 porque es el número total de las vocales.
K = 2 ya que solamente se tomarán dos de éstas.
Sustituyendo los valores en la fórmula se tiene:

Es decir, hay 10 formas posibles de seleccionar las vocales

PROBABILIDAD PARA EVENTOS
PROBABILIDAD CONDICIONAL
AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD

Los axiomas de la probabilidad son:
· La probabilidad de cualquier evento no puede ser menor que cero ni mayor a 1.
· La probabilidad de todo el espacio muestral es 1.
· La probabilidad de una sucesión numerable infinita de sucesos disjuntos es la suma de probabilidades de cada uno de ellos.Sean A, B y C eventos disjuntos, es decir, cuya intersección es el conjunto vacío

entonces

Partiendo de estos axiomas, se deducen teoremas, los cuales constituyen la teoría de la probabilidad.
Un teorema es un enunciado el cual necesita ser demostrado mediante algún método analítico para ser considerado como válido o verdadero.

PROBABILIDAD DE UN EVENTO COMPLEMENTARIO

El complemento de un conjunto es la parte de un todo, llamado el conjunto universal que no se encuentra contenido en él. Teniendo en cuenta este concepto, se plantea lo siguiente.
Ejemplo:
En un juego de mesa, un cuadro representado por una calavera significa que el jugador debe volver a empezar el juego, Yaneth está a tres posiciones de esa casilla, ¿Cuál es la probabilidad de que siga en el jugo?
Si analizamos el problema, con cualquier valor que se obtenga del lanzamiento del dado, Yaneth podrá continuar en el juego; sin embargo, el cálculo de la probabilidad de 5 valores es mayor que el hecho de encontrar solamente una probabilidad, lo que se hará es precisamente encontrar la probabilidad de que saque 3 o lo que es lo mismo, la probabilidad de que tenga que comenzar el juego.
Aplicamos la fórmula:

Los eventos posibles son 6, pues son las caras del dado, y el evento favorable es 1, pues la probabilidad de que caiga únicamente 3

El valor 0.1666 representa la probabilidad de que vuelva a empezar el juego, pero el cuestionamiento del problema es sobre lo contrario, es decir la probabilidad de que continúe en el juego.
Esto quiere decir, que se está interesado en el complemento del evento, que en este caso es lo contrario de “perder”.Ahora bien, si se retoma el segundo axioma de Kolmogorov “la probabilidad de todo el espacio muestral es igual a 1” y se sabe que

por el axioma tres

despejando se tiene

que es precisamente la fórmula que se necesita:

Lo cual quiere decir que la probabilidad de que Yaneth continúe en el juego es de 0.8334